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公務(wù)員考試行測數(shù)學(xué)運(yùn)算中的余數(shù)問題

來源:考德上公培時(shí)間:2013-03-09 15:48考德上教育V

    一、余數(shù)問題的由來
    我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中,記載這樣一個(gè)問題: “今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二,問物幾何!庇矛F(xiàn)在的話來說就是:“有一批物品,3個(gè)3個(gè)地?cái)?shù)余2個(gè),5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)余3個(gè),7個(gè)7個(gè)地?cái)?shù)余2個(gè),問這批物品最少有多少個(gè)?” 這個(gè)問題的解題思路,被稱為“孫子問題”、“鬼谷算”、“隔墻算”、“韓信點(diǎn)兵”等等。
 
    二、余數(shù)問題的解法
    余數(shù)問題核心基礎(chǔ)公式
    余數(shù)基本關(guān)系式:被除數(shù)÷除數(shù)=商……余數(shù)(0≤余數(shù)<除數(shù))
    余數(shù)基本恒等式:被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)
 
    在我們公務(wù)員行測考試中,一般余數(shù)問題有三種解法。
 
    (一)同余問題核心口訣
    “余同加余,和同加和,差同減差,除數(shù)最小公倍數(shù)作周期”
    1、余同:用一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù),得到的余數(shù)相同,此時(shí)該數(shù)可以選這個(gè)相同的余數(shù),余同取余。
    例:“一個(gè)數(shù)除以4余1,除以5余1,除以6余1”,則取1,表示為60n+1。
    2、和同:用一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù),得到的余數(shù)和除數(shù)的和相同,此時(shí)該數(shù)可以選這個(gè)相同的和數(shù),和同加和。
    例:“一個(gè)數(shù)除以4余3,除以5余2,除以6余1”,則取7,表示為60n+7。
    3、差同:用一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù),得到的余數(shù)和除數(shù)的差相同,此時(shí)該數(shù)可以選除數(shù)的最小公倍數(shù)減去這個(gè)相同的差數(shù),差同減差。
    例:“一個(gè)數(shù)除以4余1,除以5余2,除以6余3”,則取-3,表示為60n-3。
 
    例:自然數(shù)P滿足下列條件:P除以10的余數(shù)為9,P除以9的余數(shù)為8,P除以8的余數(shù)為7。如果:100<P<1000,則這樣的P有幾個(gè)?
    A.不存在      B.1個(gè)    C.2個(gè)        D.3個(gè)
    【答案】C。解析:P除以8=     ……7,P除以9=……8,P除以 10=   ……9,差同,找除數(shù)8,9,10的公倍數(shù)360,所以有,100小于360N-1小于1000,所以有359和719兩個(gè)數(shù)
 
    (二)剩余定理
    如果兩個(gè)數(shù)相加和為另一個(gè)數(shù)字,如A+B=C.則ABC同時(shí)除以一個(gè)數(shù)字所剩的余數(shù)也滿足這樣的等式。如A除以3余m,B除以3余n,C除以3余0,則m+n一定是3的倍數(shù)。  
    例1. 6802-162×122-4642 =(  )
    A.210 240 B.196 000 C.197 100 D.198 000
    【答案】A。解析:直接計(jì)算過于麻煩,利用剩余定理680、16×12、464均是8的倍數(shù),則它們的平方都是8的平方即64的倍數(shù)。原式的值應(yīng)是64的倍數(shù),選項(xiàng)中只有A是64的倍數(shù)。
    例2.買5件甲商品和3件乙商品,需要348元,如果買3件甲和2件乙,需要216元,那么單賣一件甲商品需要多少錢?( )
    A.48B.46C.34D.32
    【答案】A。解析一:5x+3y=348,3x+2y=216。2式乘以2再減去1式得x+y=84,帶入1式可得x=48.
    解析二:剩余定理。5x+3y=348。348除以3余數(shù)是0.3y除以3余數(shù)也為0,根據(jù)剩余定理可知5x也要是3的倍數(shù),則只有可能x是3的倍數(shù),選項(xiàng)中3的倍數(shù)只有A。
    例3.藥箱里有六箱貨物,分別重15、16、18、19、20、31千克,兩個(gè)顧客買走了其中的五箱,已知一個(gè)顧客買的貨物重量是另一個(gè)顧客的2倍,商店里剩下的一箱貨物重多少千克?( )
    A. 16 B. 18 C. 19 D. 20
    【答案】D解析:設(shè)買的少的顧客買了x,則另一個(gè)買了2x。剩余的一箱為m,則總的六箱為3x+m=119,119除以3余數(shù)為2,3x除以3余數(shù)也為2.根據(jù)剩余定理可知m除以3余數(shù)應(yīng)該為2,四個(gè)選項(xiàng)中除3余數(shù)為2的只有D選項(xiàng)。
 
    (三)余不同、和不同、差不同
    主要針對“公倍數(shù)做周期:余同取余,和同加和,差同減差”以外的余數(shù)問題的題目,這一類題主要轉(zhuǎn)化為余同、合同或差同來解決。
    例:一個(gè)三位數(shù)除以9余7,除以5余2,除以4余3,這樣的三位數(shù)共有?
    A. 5個(gè)        B. 6個(gè)    C. 7個(gè)        D. 8個(gè)   
    【答案】A。解析 :如同上題做,不過分兩步,如,P除以9=     ……7,P除以5=    ……2,P除以4=   ……3先看下面后兩個(gè),是和同(余數(shù)同除數(shù)的和相同,和同加和,就是加除數(shù)最小公倍數(shù)的N倍加和)5*4N+7=20n+7,得到的20n+7可看成P除以20=  ……7,與第一個(gè)又成為余同,余同加余,20*9n+7=180n+7,所以有100小于180n+7小于等于999。
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